PREENCHIMENTO DO PLANO COM POLÍGONOS REGULARES

O preenchimento do plano é uma técnica usada pela humanidade há muito tempo. Vários povos, civilizações, culturas de variadas épocas utilizaram formas geométricas para realizar essa tarefa.

 

Mas a questão que surge é: Quais os polígonos regulares tem a capacidade de preencher o plano sem falhas ou sobreposição?

Como estamos considerando polígonos regulares do mesmo tipo e que serão dispostos lado a lado, devemos analisar as medidas dos ângulos internos dos polígonos. Sabemos que um polígono de n lados tem a soma de seus ângulos internos dada por S=180°.(n-2)  . E um polígono regular tem como medida de cada ângulo interno o valor α =(180°.(n-2))/n

Como para preencher o plano os polígonos serão dispostos lado a lado, eles devem satisfazer a condição k.α=360°, onde k é o número de polígonos usados no encaixe de 360°. Pois do contrário haveria falha ou sobreposição.

Desta forma, teremos: k.α=k.(180°.(n-2))/n=360°

Ou seja, k=2n/(n-2)  . É fácil notar que o valor mínimo de k é 3, onde seriam necessários pelo menos 3 polígonos regulares para o encaixe de 360°. Daí temos: 2n/(n-2)≥3  ou seja, n≤6.

Então, os possíveis polígonos são: hexágono, pentágono, quadrado e triângulo. Mas, como cada ângulo interno do pentágono mede 108°, isso faz com que ele não cumpra a condição k.108°=360°. Portanto, existem apenas três possibilidades, o hexágono(n=6), quadrado(n=4) e o triângulo(n=3), todos eles regulares.

 

Autor: Cassiano Pimho